Triangulu equilateru

Triangulu equilateru

Un triangulu equilateru hè un triangulu incù tutti i lati cungruenti è dunqua hè un poligunu rigulari incù trè lati. L'anguli sò tutti uguali è pari à 60° = $\frac{\pi }{3}$rad.

I trianguli equilateri sò trianguli isusceli particulari. Tutti i trianguli equilateri sò simili trà eddi: par carattarizà metricamenti un triangulu equilateru, vali à dì par carattarizà a classa di i trianguli equilateri in u pianu chì si poni uttena l'uni da l'altri par via di traslazioni è rutazioni, servi è basta un parametru estinsivu: tipicamenti s'usa a lunghezza di i so lati.

In i trianguli equilateri, i bisettrici, i mediani, l'altezzi è l'assi si soprapponini di tali manera ch'è listessu puntu ripprisenta l'ortucentru, u baricentru, l'incentru è u circucentru.

U gruppu di i simmetrii di u triangulu equilateru hè custituitu da l'idantità, da i rutazioni intornu à u so centru di 120° è di 240° è da i riflissioni rispettu à i bisettrici di l'anguli. Stu gruppu hè isumorfu à u gruppu simetricu di 3 ughjetti S₃.

Custruzzioni

Custruzzioni di u triangulu equilateru incù riga è cumpassu

Com'è a dimostra Euclide in i so Elementi I, 1 (hè a prima prupusizioni di tutta l'opara), u triangulu equilateru datu u latu AB si pò custruiscia incù riga è cumpassu in 'ssa manera:

• Si poni u cumpassu in A incù l'apartura AB è si traccia una circumfarenza;
• Si poni u cumpassu in B incù l'apartura BA è si traccia una circumfarenza;
• U puntu d'incontru di i circumfarenzi C hè u terzu puntu circatu;
• Uniscendu A, B è C s'otteni un triangulu equilateru.

A dimustrazioni hè simplicia: essendu, par difinizioni, tutti i punti di a circumfarenza equidistanti da u centru, u sigmentu AB hè cungruenti à AC, è AB hè cungruenti à BC. Ma tandu par a prubità transitiva di a cungruenza, AB = AC = BC è u triangulu hè equilateru.

Formuli

Rifirendu si incù $l$ à u latu di u triangulu, incù $2P$ u perimetru, incù $A$ l'aria, incù $b$ a basa è incù $h$ l'altezza s'hà:

Perimetru

$2P=l\cdot 3$

$l=\frac{2P}{3}$

Aria

$A=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{l^2}{4}\cdot \sqrt{3}$

$h=\frac{A\cdot 2}{b}$

$b=\frac{A\cdot 2}{h}$

Appiigazioni di u Tiurema di Pitagora

$h=\sqrt{l^2-{\left(\frac{l}{2}\right)}^2}=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}}=\sqrt{\frac{4l^2-l^2}{4}}=\sqrt{\frac{3l^2}{4}}=\frac{\sqrt{l^2}\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{l\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{l}{2}\sqrt{3}$

$l=\frac{2h}{\sqrt{3}}$

Circumfarenza inscritta è circuscritta

U centru giumetricu di u triangulu hè u centru di i circumfarenzi iscritta è circuscritta à u triangulu equilateru

U raghju di a circumfarenza circuscritta hè $R=\frac{\sqrt{3}}{3}l$

da u quali $l=R\sqrt{3}$

U raghju di a circumfarenza inscritta hè $r=\frac{\sqrt{3}}{6}l$

da u quali $R=2\cdot r$

Aria (nota R) $A=\frac{3\cdot R^2}{4}\cdot \sqrt{3}$

Da veda dinò

• Criterii di cungruenza di i trianguli
• Triangulu
• Triangulu isusceli
• Triangulu scalenu
• Toru (giumitria)
• Giumitria piana
• Angulu rettu
• Catetu
• Mezaretta
• Perimetru
• Sigmentu
• Tiurema di Pitagora
• Iputenusa
• Tangenti
• Trigunumitria
• Uttaedru

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.