Trigunumitria

Funzioni trigunumetrichi ripprisintati graficamenti

A trigunumitria (o trigonomitria) (da u grecu trígonon (τρίγωνον, triangulu) è métron (μέτρον, misura): risuluzioni di u triangulu) hè a parti di a matematica chì studieghja i trianguli à parta da i so anguli. U scopu principali di a trigunumitria, com'edda a svela l'etimulugia di u nomu, cunsisti in u calculamentu di i misuri chì carattarizeghjani l'elementi d'un triangulu (lati, anguli, mediane, etc.) partendu da altri misuri ghjà cunnisciuti (almenu trè, frà i quali almenu una lunghezza), par mezu di funzioni spiciali. Si riferisci à tali scopu com'è risuluzioni di u triangulu. Hè ancu pussibuli di serva si di calculi trigunumetrichi in a risuluzioni di prublemi currilati à figuri giumetrichi più cumplessi, com'è puliguni o figuri giumetrichi solidi, è in molti altri rami di a matematica.

I funzioni trigunumetrichi (i più impurtanti di i quali sò u sinu è u cusinu), intrudutti in stu duminiu, sò ancu imprudati in modu indipindenti da a giumitria, è dinò in altri campi di a matematica è di i so applicazioni, par asempiu in cunnissioni incù a funzioni espuninziali o incù i uparazioni vitturiali.

L'urighjini

Duranti molti seculi, a trigunumitria duviti i so prugressi guasi esclusivamenti à l'opara di grandi astrunomi è giugrafi. Infatti, a fundazioni di sta scenza si devi à Ipparco di Nicea è à Claudiu Tolomeo, tremindù più astrunomi è giugrafi ch'è matematichi. Cuntributi nutevuli funi arricati à sta scenza da l'arabi, da u francesu Levi ben Gershon è, più dopu, da Niccolò Copernicu è Tycho Brahe, intenti à discriva è à priveda incù sempri una più grandi pricisioni i finomini cilesti, ancu par un più asattu è faciuli calculu di longitudini è latitudini.

Funzioni trigunumetrichi

Strumentu indispinsevuli di a trigunumitria sò i funzioni trigunumetrichi. Sò sti funzioni chì associani i lunghezzi à l'anguli, è viciversa. I tavuleddi in sta sizzioni mostrani i funzioni trigunumetrichi à tempu à i so principali prubità.

Funzioni trigunumetrichi diretti

Sò ditti funzioni trigunumetrichi diretti quiddi chì à un angulu, di solitu aspressu in radianti, associani una lunghezza o un rapportu frà lunghezzi. A causa di l'equivalenza circulari di l'anguli, tutti i funzioni trigunumetrichi diretti sò ancu funzioni periodichi incù periodu $\pi$ o $2\pi$.

Funzioni trigunumetrichi diretti
Funzioni	Nutazioni	Duminiu	Cuduminiu	Radichi	Periodu	Funzioni inversa
sinu	sen, sin	$ℝ$	$[-1,1]$	$\mathbb{Z}\pi$	$2\pi$	arcusinu
cusinu	cos	$ℝ$	$[-1,1]$	$\frac{\pi }{2}+\mathbb{Z}\pi$	$2\pi$	arcucusinu
tangenti	tan, tg	$ℝ\setminus (\frac{\pi }{2}+\mathbb{Z}\pi )$	$ℝ$	$\mathbb{Z}\pi$	$\pi$	arcutangenti
cutangenti	cot, cotg, ctg	$ℝ\setminus \mathbb{Z}\pi$	$ℝ$	$\frac{\pi }{2}+\mathbb{Z}\pi$	$\pi$	arcucutangenti
secanti	sec	$ℝ\setminus (\frac{\pi }{2}+\mathbb{Z}\pi )$	$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$	nisciuna	$2\pi$	arcusecanti
cusecanti	csc, cosec	$ℝ\setminus \mathbb{Z}\pi$	$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$	nisciuna	$2\pi$	arcucusecanti

Funzioni trigunumetrichi inversi

À ogni funzioni trigunumetrica diretta hè assuciata una funzioni inversa. U duminiu di ognuna funzioni trigunumetrica inversa currispondi, com'hè prividibuli, à u cuduminiu di a funzioni diretta rispittiva. Apposta ch'è i funzioni diretti sò, puri, periodichi, è parciò micca iniittivi, par pudè li invirsà hè nicissariu à ristringhja ni u duminiu rindendu li biiettivi. A scelta di a ristrizzioni hè tiuricamenti irrilevanti è i pussibilità sò infiniti. A cunvinzioni (rigida, in stu campu) voli parò ch'è i duminii fussini ristretti à l'intarvalli $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ oppuri $[0,\pi ]$, in i quali i funzioni — è dunqua ancu i so inversi — sò munotuni. Ancu i funzioni arcusecanti è arcucusecanti sò difiniti da l'invirsioni di i funzioni diretti ristretti à un di ss'intarvalli.

Funzioni trigunumetrichi inversi
Funzioni	Nutazioni	Duminiu	Cuduminiu	Radichi	Andamentu	Funzioni inversa
arcusinu	arcsen, arcsin, asin, sen−1	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$	0	$\nearrow$	sinu
arcucusinu	arccos, acos, cos−1	$[-1,1]$	$[0,\pi ]$	1	$\searrow$	cusinu
arcutangenti	arctan, arctg, atan, tan−1	$ℝ$	$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$	0	$\nearrow$	tangenti
arcucutangenti	arccot, arccotg, arcctg, acot, cot−1	$ℝ$	$(0,\pi )$	$+\mathrm{\infty }$	$\searrow$	cutangenti
arcusecanti	arcsec, asec, sec−1	$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$	$[0,\pi ]$	1	criscenti, incù una discuntinuità in $[-1,1]$	secanti
arcucusecanti	arccsc, arccosec, acsc, csc−1	$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$	$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$	$\pm \mathrm{\infty }$	dicriscenti, incù una discuntinuità in $[-1,1]$	cusecanti

Rilazioni fundamintali di a guniumitria

Prima rilazioni fundamintali

${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

da quissa s'utteni

$\cos \alpha =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$

$\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di $\alpha$ par a scelta oppurtuna di i cenni

Siconda rilazioni fundamintali

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

chì vali solu par $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ incù $k\in \mathbb{Z}$

Terza rilazioni fundamintali

${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }$

chì vali solu par $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ incù $k\in \mathbb{Z}$

da quissa s'utteni

$\cos \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }}$

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di $\alpha$ par a scelta oppurtuna di i cenni.

Formuli di l'anguli assuciati

In a circumfarenza guniumetrica si chjamani anguli assuciati l'anguli $\alpha$, $\pi -\alpha$, $\pi +\alpha$ è $2\pi -\alpha$. 'Ss'anguli ani in valori assulutu listessu sinu è listessu cusinu.

Formuli di l'anguli assuciati di u sicondu quadranti

$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$

$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$

$\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$

Formuli di l'anguli assuciati di u terzu quadranti

$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$

$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$

$\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$

Formuli di l'anguli assuciati à u quartu quadranti

$\cos (2\pi -\alpha )=\cos \alpha$

$\sin (2\pi -\alpha )=-\sin \alpha$

$\tan (2\pi -\alpha )=-\tan \alpha$

Formuli di l'anguli opposti

$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$

$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$

$\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$

Si dici ch'è $\cos \alpha$ hè una funzioni para, mentri $\sin \alpha$ è $\tan \alpha$ sò dispari.

Formuli di l'anguli cumplimintarii (a so somma hè un angulu rettu)

$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$

$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$

$\tan (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cot \alpha$

Formuli di l'anguli chì sò diffarenti d'un angulu rettu

$\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$

$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$

$\tan (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\cot \alpha$

Formuli guniumetrichi

In trigunumitria, i formuli d'addizioni è suttrazzioni parmettini di trasfurmà i funzioni trigunumetrichi di l'addizioni o diffarenza di dui anguli in un'esprissioni cumposta da funzioni trigunumetrichi di i dui anguli.

Formuli d'addizioni

• $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
• $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$
• $\cot (\alpha +\beta )=\frac{\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }$

A formula di a tangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ incù $k\in \mathbb{Z}$

A formula di a cutangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \ne k\pi$ incù $k\in \mathbb{Z}$

Formuli di suttrazzioni

• $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$
• $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$
• $\cot (\alpha -\beta )=\frac{\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }$

A formula di a tangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ incù $k\in \mathbb{Z}$

A formula di a cutangenti vali par $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \ne k\pi$ incù $k\in \mathbb{Z}$

Formuli di duplicazioni

• $\sin (2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$

• $\cos (2\alpha )={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

• $\tan (2\alpha )=\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

L'ultima formula vali par $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ è $\alpha \ne \pm \frac{\pi }{4}+k\pi$ incù $k\in \mathbb{Z}$

Formuli di liniarità

• ${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos (2\alpha )}{2}$

• ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos (2\alpha )}{2}$

• ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{1-\cos (2\alpha )}{1+\cos (2\alpha )}$

L'ultima formula vali par $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ incù $k\in \mathbb{Z}$

Formuli di bisizzioni

Attinzioni: hè nicissariu à valutà in qualessu quadranti cadi $\frac{\alpha }{2}$ par pudè sceglia i cenni oppurtuni di i siguenti formuli

• $\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$

• $\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$

• $\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}$

L'ultima formula vali par $\alpha \ne \pi +2k\pi$.

Formuli parametrichi

• $\cos \alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}$

• $\sin \alpha =\frac{2t}{1+t^2}$

• $\tan \alpha =\frac{2t}{1-t^2}$

induva $t=\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)$ incù $\alpha \ne \pi +2k\pi$.

Formuli di prustaferesi

• $\sin p+\sin q=2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$

• $\sin p-\sin q=2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)$

• $\cos p+\cos q=2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)$

• $\cos p-\cos q=-2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)$

I furmuli di prustaferesi trasformani i sommi di funzioni guniumetrichi in prudutti.

Formuli di Werner (inversi di i formuli di prustaferesi)

• $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$

• $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$

• $\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$

• $\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )]$

I furmuli di Werner trasformani i prudutti di funzioni guniumetrichi in sommi.

Formuli di l'angulu aghjuntu

• $a\sin x+b\cos x=A\sin (x+\varphi )$

A siguenti ugualità hè virificata sottu i siguenti cundizioni

$A=\sqrt{a^2+b^2}$

$\{\begin{array}{c}\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$

$\tan \varphi =\frac{b}{a}$

Ci voli à tena menti ch'è a tangenti guniumetrica hè piriodica di 180° è dunqua bisogna à valutà priventivamenti a pusizioni di $\varphi$ è dunqua

$\varphi =\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{b}{a})& \text{s'è }a>0\\ \arctan (\frac{b}{a})+\pi & \text{s'è }a<0\end{array}$

Risuluzioni di i trianguli rittanguli

Cunvinzioni par a numinclatura di l'elementi d'un triangulu rittangulu

In u ghjergu matematicu "risolva un triangulu rittangulu" significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par cunvinzioni esisti una numinclatura in i trianguli rittanguli chì si pò veda nantu à a figura. Ci voli à ricurdà si ch'è

• $\alpha =90^o$ è $\beta +\gamma =90^o$
• un angulu hè aghjacenti à un catetu s'è u catetu hè un di i lati di l'angulu in quistioni.
• un angulu hè oppostu à un catetu s'è u catetu ùn hè micca un di i lati di l'angulu in quistioni.

Par asempiu $\beta$ hè oppostu à u catetu $b$ è aghjacenti à u catetu $c$.

Sottu sti cunvinzioni in un triangulu rittangulu privalini i siguenti tiuremi

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u sinu di l'angulu oppostu à u catetu

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u cusinu di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a tangenti di l'angulu oppostu à u catetu da calculà.

Tiurema. In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a cutangenti di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu da calculà.

'Ssi tiuremi si traducini in i siguenti formuli par a risuluzioni di i trianguli rittanguli

$a=\frac{c}{\sin \gamma }\Rightarrow c=a\cdot \sin \gamma$

$a=\frac{b}{\cos \gamma }\Rightarrow b=a\cdot \cos \gamma$

$\frac{c}{b}=\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }\Rightarrow c=b\cdot \tan \gamma$

$\frac{b}{c}=\frac{\cos \gamma }{\sin \gamma }\Rightarrow b=c\cdot \cot \gamma$

$a=\frac{b}{\sin \beta }\Rightarrow b=a\cdot \sin \beta$

$a=\frac{c}{\cos \beta }\Rightarrow c=a\cdot \cos \beta$

$\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\cos \beta }\Rightarrow b=c\cdot \tan \beta$

$\frac{c}{b}=\frac{\cos \beta }{\sin \beta }\Rightarrow c=b\cdot \cot \beta$

Dimustrazioni

Si cunsidareghja un triangulu rittangulu $ABC$ incù angulu rettu di vertici $A$. Dittu $CA$ l'assu $x$, nantu à u vertici $C$ si custruisci una circumfarenza di raghju $CP=1$. I cuurdinati di u puntu $P$ rapprisentani u $\cos \gamma$ è u $\mathrm{sen}\gamma$, è apposta ch'è $\gamma$ hè acutu indicheghjani ancu rispittivamenti i lunghezzi di i cateti $CH$ è $PH$.

Dimustrazioni di i formuli di u triangulu rittangulu

.

Da a figura si pò ussirvà ch'è i dui trianguli rittanguli $ABC$ è $HPC$ sò simili in quantu ani dui anguli cungruenti: $\gamma$ in cumunu è l'anguli retti di vertici $A$ è $H$. Hè pussibuli cusì à custruiscia a prupurzioni frà i lati omologhi di i dui trianguli simili (lati opposti à l'anguli cungruenti):

$\frac{\overline{BC}}{\overline{PC}}=\frac{\overline{BA}}{\overline{PH}}=\frac{\overline{CA}}{\overline{CH}}$

Sustituiscendu i misuri di i lati s'otteni

$\frac{a}{1}=\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{b}{\cos \gamma }$

è cusì

$a=\frac{c}{\sin \gamma }\Rightarrow c=a\cdot \sin \gamma$

$a=\frac{b}{\cos \gamma }\Rightarrow b=a\cdot \cos \gamma$

da quissa dui s'utteni ancu

$\frac{c}{b}=\frac{\sin \gamma }{\cos \gamma }\Rightarrow c=b\cdot \tan \gamma$

$\frac{b}{c}=\frac{\cos \gamma }{\sin \gamma }\Rightarrow b=c\cdot \cot \gamma$

Stu raghjunamentu pò essa chjaramenti stesu ancu à u terzu angulu $\beta$ in modu da ottena formuli analoghi

$a=\frac{b}{\sin \beta }\Rightarrow b=a\cdot \sin \beta$

$a=\frac{c}{\cos \beta }\Rightarrow c=a\cdot \cos \beta$

$\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\cos \beta }\Rightarrow b=c\cdot \tan \beta$

$\frac{c}{b}=\frac{\cos \beta }{\sin \beta }\Rightarrow c=b\cdot \cot \beta$

Applicazioni nutevuli di i trianguli rittanguli

Calculu di l'altezza d'una torra

Si cunsidareghja u siguenti prublemu: calculà l'altezza d'una torra $AB$, cunniscendu solu a so basa (pianu orizuntali). Si distinguini dui casi

U pedi A di a torra hè raghjunghjibuli

Calculu altezza d'una torra incù u pedi A raghjunghjibuli

In stu casu basta à misurà u catetu $AC$ ($b$), è da u puntu $C$ misurà l'angulu acutu $ACB$ ($\gamma$) sottu à qualessu si vedi a summità di a torra $AB$ ($c$). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

$h_{torra}=c=b\cdot \tan \gamma$

U pedi A di a torra ùn hè micca raghjunghjibuli

Calculu altezza d'una torra incù pedi A micca raghjunghjibuli

In stu casu $AC$ ($b_1=x$) hè scunnisciuta (in quantu u pedi $A$ ùn hè micca raghjunghjibuli). Si faci dunqua una misura orizuntali $CD$ ($di$) (cusì u catetu $AD$ hè $b_2=x+di$). Da u puntu $C$ si misura l'angulu acutu $ACB$ (${\gamma }_1$) è da $D$ si misura l'angulu acutu $ADB$ (${\gamma }_2$) sottu à u quali si vedi a summità di a torra $AB$ ($c$). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

$h_{torra}=c=b_1\cdot \tan {\gamma }_1=x\cdot \tan {\gamma }_1$

$h_{torra}=c=b_2\cdot \tan {\gamma }_2=(x+di)\cdot \tan {\gamma }_2$

Confruntendu i dui altezzi s'otteni un'equazioni in a scunnisciuta $x$

$x\cdot \tan {\gamma }_1=(x+di)\cdot \tan {\gamma }_2$

st'equazioni hè faciulamenti solubili cunnisciuti i ${\gamma }_1$ è ${\gamma }_2$

Truvatu $x$ s'hà $b_1$ è cusì si pò calculà

$h_{torra}=c=b_1\cdot \tan {\gamma }_1$

Calculu di l'aria d'un triangulu qualsiasi

l'altezza h pò essa vista com'è catetu di u triangulu CHA

Par calculà l'aria di u triangulu

$ABC$

, di basa

$CB=a$

, servi l'altezza

$AH$

. In u triangulu rittangulu

$CHA$

, d'iputenusa

$AC=b$

, l'altezza

$AH=h$

pò essa vista com'è u catetu chì s'opponi à l'angulu

$\gamma$

. Imprudendu in modu oppurtunu i formuli di i trianguli rittanguli s'otteni

$AH=h=b\cdot \sin \gamma$

è cusì

$Aria=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$

Sta formula vali ancu s'è $\gamma$ hè ottusu.

Formuli di cunvirsioni da cuurdinati pularii a cuurdinati cartisiani è viciversa

Cuurdinati pularii è cuurdinati cartisiani

Fissatu annantu à un pianu un puntu urighjina $O(0;0)$ è una mezaretta $Or$, datu un puntu $P$ di u pianu chì hè univucamenti individuatu da un paghju di numari riali $(\rho ,\theta )$ incù a cundizioni $\rho >0$ è $0\le \theta <360^o$. A coppia di numari riali rapprisentani i cuurdinati pularii di $P$. Giumitricamenti $\rho$ ripprisenta a distanza $OP$, mentri $\theta$ ripprisenta l'angulu $rOP$ misuratu in sensu antiurariu incù prima latu $Or$.

Hè pussibuli à truvà i rilazioni esistenti trà i cuurdinati cartisiani $(x;y)$ è i cuurdinati pularii $(\rho ;\theta )$ di u puntu $P$. I siguenti cunsidarazioni fatti par un puntu $P$ nantu à u prima quadranti valini ancu par l'altri quadranti.

Imprudendu i formuli di i trianguli rittanguli si trovani i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati cartisiani

$\{\begin{array}{c}x=\rho \cdot \cos \theta \\ y=\rho \cdot \sin \theta \end{array}$

Elevendu à u quatratu è summendu s'otteni $x^2+y^2={\rho }^2$ è cusì si poni ritruvà i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati pularii

$\{\begin{array}{c}\cos \theta =\frac{x}{\rho }\\ \sin \theta =\frac{y}{\rho }\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \sin \theta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{array}$

$\{\begin{array}{c}\rho =\sqrt{x^2+y^2}\\ \tan \theta =y/x\end{array}$

Ci voli à fà attinzioni ch'è a tangenti guniumetrica ùn esisti micca par $x=0$ ed hè piriodica di 180° è dunqua ci voli à valutà priventivamenti a pusizioni di $P$ par calculà di manera curretta $\theta$

$\theta =\{\begin{array}{cc}\arctan (y/x)& \text{s'è }x>0\\ \arctan (y/x)+\pi & \text{s'è }x<0\end{array}$

Tiuremi trigunumetrichi

I tiuremi trigunumetrichi parmettini a risuluzioni di prublemi di natura diffarenti liata à a figura d'un triangulu qualsiasi, sprimendu i rapporti trà i lati è l'anguli di quist'ultimu.

Tiurema di a corda

File:Teorema della corda.png

Tiurema di a corda in una circumfarenza

Data una circumfarenza è una corda $AB$, u rapportu trà 'ssa corda è u sinu d'un qualsiasi angulu à a circumfarenza ch'è/chì insiste annantu à d'edda hè uguali à u diamitru di a circumfarenza:

$\frac{\overline{AB}}{\sin \hat{C}}=2r.$

Tiurema di i sini

Cunsidaratu un triangulu qualsiasi di lati $a$, $b$ è $c$, u rapportu trà i lati è i sini di l'anguli opposti rispittivi hè custanti è hè uguali à u diamitru di a circumfarenza circuscritta:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r.$

Tiurema di u cusinu o di Carnot

U tiurema di u cusinu (chjamatu ancu tiurema di Carnot) afferma ch'è in un qualsiasi triangulu, u quatratu d'un latu hè uguali à a diffarenza trà a somma di i quatrati di l'altri dui lati è u doppiu pruduttu di 'ssi lati par u cusinu di l'angulu cumpresu trà eddi.

$\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BA}}=\stackrel{2}{\stackrel{‾}{AC}}+\stackrel{2}{\stackrel{‾}{BC}}-2\overline{AC}\cdot \overline{BC}\cos \gamma$.

Vali à dì, indichendu incù $a,b,c$ a lunghezza di i lati è $\alpha ,\beta ,\gamma$ l'anguli à eddi opposti, s'otteni

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$

Pò essa cunsidaratu una generalisazioni di u Tiurema di Pitagora.

Risuluzioni di i trianguli qualsiasi

Cunvinzioni par a numinclatura di l'elementi d'un triangulu

In u ghjergu matematicu risolva un triangulu significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par risolva un triangulu qualsiasi devini essa cunnisciuti trè elementi frà i quali almenu unu devi essa un latu. Si poni prisintà quattru casi:

1. sò cunnisciuti un latu è dui anguli
2. sò cunnisciuti trè lati
3. sò cunnisciuti dui lati è l'angulu cumpresu
4. sò cunnisciuti dui lati è un di i dui anguli opposti à i lati dati

A numinclatura di i lati è di l'anguli segue a cunvinzioni nantu à a figura.

Risolva un triangulu cunnisciuti un latu (a) è dui anguli $(\alpha ,\beta )$

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i siguenti cundizioni

$\alpha +\beta <180^o$

in casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

1. Calculà l'angulu mancanti $\gamma =180^o-(\alpha +\beta )$
2. Calculà u latu scunnisciutu $b$ imprudendu u tiurema di i sini: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$
3. Calculà u latu scunnisciutu $c$ imprudendu u tiurema di i sini: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Risolva un triangulu cunnisciuti i trè lati (a, b, c)

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i disugualità triangulari. In casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

1. calculà l'angulu $\alpha$ par via di u tiurema di u cusinu: $\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
2. calculà l'angulu $\beta$ par via di u tiurema di u cusinu: $\cos \beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
3. calculà l'angulu mancanti $\gamma =180^o-(\alpha +\beta )$

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu cumpresu $(\gamma )$

U prublemu hà sempri una sola suluzioni

A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

1. calculà u latu $c$ (oppostu à l'angulu $\gamma$) par via di u tiurema di u cusinu: $c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }$
2. calculà l'angulu $\alpha$ (oppostu à u latu a) par via di u tiurema di u cusinu: $\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
3. calculà l'angulu mancanti $\beta =180^o-(\gamma +\alpha )$

Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu $\alpha$ oppostu à u latu a

U prublemu pò avè nisciuna suluzioni, una suluzioni o dui suluzioni.

1. Si calculeghja l'angulu scunnisciutu $\beta$ incù u tiurema di i sini $\frac{b}{\sin \beta }=\frac{a}{\sin \alpha }$
2. S'è $\alpha$ hè ottusu si uttinarà un solu angulu ${\beta }_1$ acutu, altrimenti si trova ancu ${\beta }_2=180^o-{\beta }_1$.
3. Si calculeghja ${\gamma }_1=180^o-({\beta }_1+\alpha )$ è eventualmenti ${\gamma }_2=180^o-({\beta }_2+\alpha )$
4. Si calculeghja $c_1$ è eventualmente $c_2$ imprudendu u tiurema di i sini $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Etimulugia di i noma

Com'è par u restu di i lingui rumanichi, a lingua corsa teni i noma di i funzioni trigunumetrichi da i paroli currispundenti latini. A parola tangenti hè da latinu tangens, littiralamenti "chì tocca", in rifirimentu à i prubità giumetrichi di u sigmentu imprudatu par a difinizioni grafica di sta funzioni. Analugamenti si spiega l'etimulugia di a secanti, in latinu secans, "chì taglia". I paroli cusinu, cutangenti è cusecanti diriveghjani da a cuntrazzioni di i rispittivi paroli latini cumplimenti sinus, cumplimenti tangens, cumplimenti secans, vali a dì "sinu di l'angulu cumplimintariu", "tangenti di l'angulu cumplimintaria", "secanti di l'angulu cumplimintariu".

Da veda dinò

• Formuli di prustaferesi
• Formuli di Werner
• Funzioni trigunumetrica
• Angulu
• Sinu
• Cusinu
• Tangenti (matematica)
• Secanti (trigunumitria)
• Cusecanti
• Cutangenti
• Equazioni trigunumetrica
• Idantità trigunumetrica
• Tiurema di a corda
• Tiurema di i sini
• Tiurema di u cusinu
• Toru (giumitria)
• Giumitria piana
• Angulu rettu
• Catetu
• Mezaretta
• Perimetru
• Sigmentu
• Triangulu isusceli
• Triangulu equilateru
• Tiurema di Pitagora
• Iputenusa
• Tangenti
• Triangulu
• Uttaedru

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.