Tangenti

Datu un triangulu rittangulu, a tangenti d'un angulu hè difinita com'è u rapportu trà u sinu è u cusinu di u stessu angulu

Datu un triangulu rittangulu, a tangenti (o tangente) (abbriviatu tan) hè una funzioni trigunumetrica difinita com'è u rapportu trà u sinu è u cusinu di u stessu angulu. I simbuli par indicà a tangenti sò i più numarosi di tutti i funzioni trigunumetrichi, apposta ch'è edda s'indicheghja incù tg, tn, tang, tng (raru). U nomu di a funzioni deriveghja da u fattu ch'edda pò essa difinita com'è a lunghezza d'un sigmentu di a tangenti (in sensu giumetricu) à a circumfarenza guniumetrica. Infatti, datu un chjerchju di raghju unitariu, a tangenti d'un angulu α hè l'urdinata di u puntu d'intarsizioni trà a retta chì cunteni u latu libaru di l'angulu è a retta tangenti à a circumfarenza in u puntu di cuurdinati (1;0).

Prubità

Funzioni trigunumetrichi nantu à a circumfarenza guniumetrica

S'è ussirvemu a figura vidimu ch'è i trianguli OAB è OCD sò simili, è dunqua:

$\frac{AB}{OA}=\frac{DC}{OC};\frac{\tan x}{1}=\frac{DC}{OC}$

esprissioni chì ghjustificheghja graficamenti a difinizioni trigunumetrica di a tangenti:

$\tan x=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x}{\cos x}$

A tangenti hè una funzioni periodica incù periodu $\pi$ vali à dì:

$\tan x=\tan (x+k\pi ),k\in \mathbb{Z}$.

A dirivata prima di a tangenti hè:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{i}}{\mathrm{d}\mathrm{i}x}\tan x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x=se{c}^{2}x$

A funzioni primitiva di a tangenti hè:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\tan t\mathrm{d}\mathrm{i}t=-\ln |\cos x|$

U sviluppu di Taylor di a funzioni tangenti à u settimu ordini hè

$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+o(x^8)$

A tangenti hè una funzioni dispari, vali à dì:

$\tan (-x)=-\tan x$.

U reciprocu di a tangenti hè dittu cutangenti:

$\cot x=\frac{1}{\tan x}$

A funzioni inversa di a tangenti hè l'arcutangenti.

A tangentoidi

A tavuledda siguenti esponi i principali valori nutevuli assunti da a funzioni tangenti:

x in radianti	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
x in gradi	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
$\tan (x)$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$\nexists$	0	$\nexists$	0

A funzioni tan x ùn hè micca difinita par valori di $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Giumitria analitica

$\tan x=m=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x}{\cos x}=\frac{y}{x}$

Pudemu ancu difiniscia a tangenti com'è u cuefficienti angulari d'una retta. In stu casu ripprisenta a tangenti trigunumetrica di l'angulu ch'è a retta stessa forma incù l'assu di i x. Par renda ci contu di a viridicità di st'affirmazioni, ricurdemu ch'è u cuefficienti angulari d'una retta chì passa par dui punti, siini $P=(x_0,y_0)$ è $Q=(x_1,y_1)$, hè asattamenti $\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$, chì equivali à u rapportu trà u sinu è u cusinu di l'angulu cumpresu trà a retta è l'assu di i $x$.

Sinu è cusinu

Par ottena i valori di u sinu è di u cusinu di $x$ cunniscendu ni a tangenti pudemu fà un simpliciu raghjunamentu. Innanzi tuttu pinsemu $\tan x$ com'è u rapportu trà l'urdinata è l'ascissa d'un puntu $P$ nantu à a circumfarenza cintrata in l'urighjina $O$ di l'assi (u raghju hè ininfluenti apposta ch'è u valori di a tangenti hè univucamenti ditarminatu). Pudemu cunsidarà quisti ascissa è urdinata com'è i cateti di u triangulu rittangulu chì hà u raghju $OP$ com'è iputenusa. Da stu puntu di vista u sinu di x hè u rapportu trà l'urdinata di $P$ è l'iputenusa $OP$, mentri u cusinu di x hè u rapportu trà l'ascissa di $P$ è l'iputenusa $OP$.

Applichendu u tiurema di Pitagora pudemu dì, datu:$\tan x=\frac{a}{b}$ ch'è:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\cos x=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Da veda dinò

• Arcutangenti
• Funzioni trigunumetrichi
• Cutangenti
• Tangenti (giumitria)
• Tangenti iperbolica
• Tiurema di Nepero
• Toru (giumitria)
• Giumitria piana
• Angulu rettu
• Catetu
• Mezaretta
• Perimetru
• Sigmentu
• Triangulu isusceli
• Triangulu equilateru
• Tiurema di Pitagora
• Iputenusa

• Trigunumitria
• Triangulu
• Uttaedru

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.