Triangulu isusceli

Triangulu Isusceli

Hè difinitu com'è triangulu isusceli un triangulu chì pussedi almenu dui lati uguali è chì pussedi almenu dui anguli uguali. Infatti vali u siguenti tiurema: un triangulu hà dui lati uguali solu s'è hà dui anguli uguali è viciversa.

Stu tiurema custituisci a quinta prupusizioni di u Libru I di l'Elementi di Euclide è hè cunnisciutu com'è Pons asinorum, u "ponti di l'asini".

Particulari trianguli isusceli sò i trianguli equilateri è i trianguli rittanguli isusceli. Esistini ancu trianguli isusceli acutanguli è ottusanguli.

I trianguli isusceli rittanguli sò tutti simili trà eddi, com'è i trianguli equilateri.

Simitrii

Un triangulu isusceli chì ùn hè micca equilateru hè invarianti solu par a riflissioni rispettu à a bisettrici di l'angulu diffarenti da i dui rimanenti. U so gruppu di simitria, in più di à a trasfurmazioni idantità, cumprendi solu quista riflissioni è dunqua hè isumorfu à u gruppu di dui elementi, vali à dì à u gruppu multiplicativu nantu à l'insemu {1, −1}.

Trianguli isusceli in giumitria analitica

Tiurema 1: Cundizioni nicissaria è sufficienti affinch'è un triangulu incù a basa parallela à l'assi sii isusceli hè ch'eddu agvissi i dui lati di cuefficienti angulari oppostu.

Dimustrazioni.

Dati i trè retti

1. $y=k$
2. $y=mx$
3. $y=-mx$

si ni calculeghja l'intersizzioni.

$\{\begin{array}{cc}& y=k\\ & y=mx\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=\frac{k}{m}\\ & y=m\end{array}$

$A(\frac{k}{m},m)$

$\{\begin{array}{cc}& y=k\\ & y=-mx\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=-\frac{k}{m}\\ & y=m\end{array}$

$B(-\frac{k}{m},m)$

$\{\begin{array}{cc}& y=mx\\ & y=-mx\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=0\\ & y=0\end{array}$

$\mathrm{C}(0,0)$

Tandu si calculeghja a distanza di i sigmenti AC è BC.

$AC=\sqrt{{\left(\frac{k}{m}\right)}^2+k^2}$

$BC=\sqrt{{(-\frac{k}{m})}^2+k^2}$

Dunqua u triangulu hè isusceli nantu à a basa AB. Di manera analuga si dimostra u casu di a basa parallela à l'assi y.

Viciversa si custruisci un triangulu isusceli incù a basa parallela à l'assi di l'ascissi.

Dati i dui punti:

1. $\mathrm{A}(x_1,k)$
2. $\mathrm{B}(x_2,k)$

apposta ch'è u vertici d'un triangulu isusceli ghjaci nantu à a stessa retta di u puntu mediu di a basa, prima si trova $M$ è dopu $C$.

$M(\frac{x_1+x_2}{2},k)$

Dunqua si trova $C$, chì avarà listessa ascissa ch'è $M$ è diffarenti urdinata.

$C(\frac{x_1+x_2}{2},h)$

Si verificheghja ch'è u triangulu hè isusceli:

$AC=\sqrt{{\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)}^2+(k-h{)}^2}$

$BC=\sqrt{{\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)}^2+(k-h{)}^2}$

Tandu si calculeghja u cuefficienti angulari di i dui lati:

$mAC=(h-k)\cdot \left(\frac{2}{x_2-x_1}\right)=\frac{2(h-k)}{x_2-x_1}$

$mBC=(h-k)\cdot \left(\frac{2}{x_1-x_2}\right)=\frac{2(h-k)}{x_1-x_2}$

Tiurema 2: Cundizioni nicissaria è sufficienti affinch'è un triangulu incù a basa parallela à a bisettrici di dui quadranti sii isusceli hè ch'eddu avissi i dui lati di cuefficienti angulari inversi.

Dimustrazioni.

Dati i trè retti

1. $y=x+q$
2. $y=mx$
3. $y=\frac{1}{m}x$

si ni calculeghja l'intersizzioni.

$\{\begin{array}{cc}& y=x+q\\ & y=mx\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x(m-1)=q\\ & y=mx\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=\frac{q}{m-1}\\ & y=\frac{mq}{m-1}\end{array}$

$A(\frac{q}{m-1},\frac{mq}{m-1})$

$\{\begin{array}{cc}& y=x+q\\ & y=\frac{1}{m}x\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x(1-m)=mq\\ & y=\frac{1}{m}x\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=\frac{mq}{1-m}\\ & y=\frac{q}{1-m}\end{array}$

$B(\frac{mq}{1-m},\frac{q}{1-m})$

$\{\begin{array}{cc}& y=\frac{1}{m}x\end{array}$

$\{\begin{array}{cc}& x=0\\ & y=0\end{array}$

$\mathrm{C}(0,0)$

Tandu si calculeghja a distanza di i sigmenti AC è BC.

$AC=\sqrt{{\left(\frac{q}{m-1}\right)}^2+{\left(\frac{mq}{m-1}\right)}^2}$

$BC=\sqrt{{\left(\frac{mq}{1-m}\right)}^2+{\left(\frac{q}{1-m}\right)}^2}$

Dunqua u triangulu hè isusceli nantu à a basa AB. In modu analugu si dimostra u casu di a basa parallela à l'assi y.

Viciversa si custruisci un triangulu isusceli incù a basa parallela à a bisettrici di u prima è terzu quadranti. (Listessa cosa vali par quidda parallela à a bisettrici di u sicondu è quartu quadranti).

Dati i dui punti:

1. $\mathrm{A}(0,q)$
2. $\mathrm{B}(-q,0)$

postu ch'è u vertici d'un triangulu isusceli ghjaci nantu à a stessa retta di u puntu mediu di a basa, prima si trova $M$ è eppo/dopu $C$.

$M(-\frac{q}{2},\frac{q}{2})$

Dunqua si trova $C$, chì si trova nantu à a retta parpindiculari à a basa è passanti par $M$, $y=-x$.

$C(h,-h)$ induva h hè un numaru arbitrariu diffarenti da 0.

Si verificheghja chì u triangulu hè isusceli:

$AC=\sqrt{h^2+(q+h{)}^2}$

$BC=\sqrt{(-q-h{)}^2+h^2}$

Tandu si calculeghja u cuefficienti angulari di i dui lati:

$mAC=\frac{-h-q}{h}=-\frac{h+q}{h}$

$mBC=\frac{-h}{h+q}=-\frac{h}{h+q}$

Da veda dinò

• Triangulu
• Triangulu equilateru
• Triangulu scalenu
• Tiurema direttu di i trianguli isusceli
• Toru (giumitria)
• Giumitria piana
• Angulu rettu
• Catetu
• Mezaretta
• Perimetru
• Sigmentu
• Triangulu equilateru
• Tiurema di Pitagora
• Iputenusa
• Tangenti
• Trigunumitria
• Uttaedru

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.